伊藤の補題のお気持ち解説 - どうでもしか勝たん

前回に続き、オプション系の記事です。

ちなみに前回はこちら

今回はオプションプライシングにおいて避けては通れない伊藤の補題を"お気持ち"だけ解説します。

中の人は数弱だし、いかにも工学系の解説なんで数学的にアレな部分があっても叩かないでください…

もちろん、伊藤の補題の数学的導出を求めてる人は回れ右でお願いします！！(伊藤の補題は与えられている前提なので)

できること

原資産 $S$ が存在して、その価格過程も分かっている(Wiener過程に従う)としましょう。つまり、原資産価格は（確率変動による揺らぎを伴った）時間の関数として表されるというわけです。

ドリフト $a$ 、標準偏差 $b$ を用いて、原資産価格 $x$ の時間変化は以下のように表せます。

$x=a\mathrm{d}t+b\mathrm{d}z$

ここで $\mathrm{d}z$ は確率変動を表し、標準正規分布に従う確率変数 $\varepsilon$ を用いて、

$\mathrm{d}z=\varepsilon\sqrt{\mathrm{d}t}$

と表されるものです。

ここまではWiener過程の一般化の立式をしただけです。

やりたいこと

やりたいことは、原資産 $S$ を元にしたデリバティブ(オプション・先物・フォワードなど)を確率過程で表現するということです。

ところでこのデリバティブは何の関数で表されるべきなのでしょうか。

例えばフォワード取引は、原資産価格と時間（と無リスク金利）に依存します。

また、オプションの価格変動の5要因といえば、原資産価格・行使価格・ボラティリティ・時間・無リスク金利です。

つまり、デリバティブの価格はこれらのパラメータの関数として表されればいいのです。

しかし、これら全てを勘案して議論を進めるのは大変なので、簡単のために、「デリバティブ価格のうち、原資産価格 $x$ と時間 $t$ 以外のパラメータは変動しない」という仮定を置いて話を進めることにします。

→付録にもう少し詳しい話を書きましたのでぜひお読みください。

伊藤の補題

ここで伊藤の補題の登場です。

【伊藤の補題】

確率過程 $x$ が確率微分方程式

$\mathrm{d}x=a\mathrm{d}t+b\mathrm{d}z$

に従っているとき、 $x$ および $t$ に従う(任意の)関数 $G$ に対して

$\mathrm{d}G=\left(\displaystyle\frac{\partial G}{\partial x}a+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^2\right)\mathrm{d}t+\displaystyle\frac{\partial G}{\partial x}b\mathrm{d}z$

が成立する

さてここで $x$ を原資産の確率過程として、 $G$ に求めたいデリバティブを当てはめることができるので、、？

あら不思議その価格過程が求まるじゃありませんか！！

結論

こう書いてみるとほんまかいな？感は否めないですね（特に数学的処理を端折ったので）。

ですが、原資産のドリフト係数 $a$ と標準偏差 $b$ を測定して、求めたいオプションの $x$ 微分と $t$ 微分が分かればオプションの価格過程が分かるのは伊藤の補題から明らかで、これこそが大きな進歩です。

おまけ

原資産の確率過程とそのデリバティブの確率過程を並べて書いてみます。

$\mathrm{d}x=a\mathrm{d}t+b\mathrm{d}z$

$\mathrm{d}G=\left(\displaystyle\frac{\partial G}{\partial x}a+\frac{\partial G}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^2\right)\mathrm{d}t+\displaystyle\frac{\partial G}{\partial x}b\mathrm{d}z$